Как математика влияет на бизнес-стратегию

На vc вышла новая колонка из серии "матан для предпринимателя". Посмотреть можно вот тут: https://vc.ru/p/math-for-business

Текст, по-моему, отличный получился.

Когда ставка больше, чем жизнь

Для начала сформулирую простую и понятную теоретическую задачу, на примере которой потом перейдем в реальный бизнес. Представьте себе монету в пять рублей. Орёл, решка — всё как у классиков. Правила игры у нас с вами будут такие:

  • Вы делаете ставку на орла или решку.
  • Бросаете монету.
  • Если не угадали, я забираю вашу ставку себе.
  • Если угадали, вы забираете выигрыш в два раза больше, чем ставка.
  • Играем 100 раз​.

Банальная интуиция подсказывает, что дело выигрышное.

Вероятность угадать составляет 50%, а выигрыш вдвое больше проигрыша. На длинной дистанции вы явно будете в плюсе. И это действительно так. Математическое ожидание у такой игры в вашу пользу.

А теперь провокационный вопрос: как размер вашей ставки будет влиять на финансовый результат всей серии игр? Какой размер ставки будет оптимальным и принесёт максимальный результат за всю серию?

Готов поспорить, ваша первая мысль была такой: «Что за бред! Никак не влияет. Вероятность выигрыша фиксирована, правила игры тоже. Как размер ставки может влиять на результат, тем более, когда серия игр длинная?».

Тут я победно улыбаюсь.

Допустим, вы имеете стартовый депозит в 1 тысячу рублей. Теперь представьте, что в каждой игре вы ставите, скажем, 0 рублей. Какой финансовый результат вы получите по итогам серии в 100 игр? Правильно — 1 тысячу рублей. Ничего не ставили, но и при своих остались.

Теперь второй пример. В каждой отдельно взятой игре вы ставите 100% всех денег, которые у вас есть. Что произойдет? Возможно, вы даже успеете удвоить или утроить ваши деньги, однако, понятное дело, рано или поздно наступит момент, когда вы ошибетесь с прогнозом и потеряете все свои деньги. Итог по результату всей серии — 0 рублей.

Итак, мы с вами имеем два принципиально разных результата — потерять всё или остаться при своих. Но зарабатывать мы ещё даже не начали, при том, что сама система явно настроена в нашу пользу. Всё не так просто, как казалось изначально. Попробуйте теперь угадать размер оптимальной ставки. Правильный ответ — в конце статьи.

Почему ставки задаются процентах

Понятие «размера оптимальной ставки», или по-научному «стратегия управления капиталом» пришло в нашу жизнь, как можно догадаться, из обычных азартных игр. Люди веками пытались построить системы, которые давали бы возможность стабильно зарабатывать, играя в рулетку или «очко».

Как видно в приведенном выше примере с монетой, размер ставки, которую вы делаете, может заметно повлиять на длительность игры. Если вы ставите 0 рублей на чёрное, то никогда ничего не выиграете, но зато и играть сможете бесконечно долго. Игра так себе, прямо скажем. Если вы каждый раз ставите на черное все деньги, удачная серия может продлиться какое-то время, но вы неизбежно потеряете всё.

Размер ставки задается в процентах не случайно. Представьте себе, что мы рискуем ставкой в 10% нашего капитала. От 1 тысячи рублей — это 100 рублей. Если мы проигрываем первой же ставкой, то у нас остается 900 рублей. Во второй игре наша ставка составит уже 90 рублей. Ну и по тому же принципу в каждой отдельной игре.

Такой подход позволяет варьировать сумму, которой вы рискуете на основе капитала, которым вы располагаете. Если, напротив, зафиксировать ставку жестко в 100 рублей, то она может оказаться слишком большой, если капитал уменьшится до 200 рублей. Либо слишком маленькой, если ваша игра успешна, и вы «раскачали» свой депозит до 10 тысяч рублей. Подход с процентами позволяет этого избежать.

Как «делать ставки» в бизнесе

Самое большое практическое значение стратегия управления капиталом имеет, конечно, на фондовом рынке. Выбирая актив для покупки, опытные трейдеры значительную часть времени уделяют расчету объема предполагаемой покупки.

Вы наверняка слышали о рекомендациях формировать инвестиционный портфель в определенных пропорциях из «голубых фишек» и «рискованных проектов». Это делается как раз для достижения максимальной доходности при небольшом риске.

Трейдинг хорош тем, что позволяет дать четкие оценки рискам и доходности. В трейдинге можно рассчитать матожидание и построить систему управления капиталом максимально эффективно. В обычном бизнесе мы часто принимаем решения по инвестициям в новые проекты. Принимаем на работу новых людей и доверяем им свои ресурсы.

Каждая итерация в бизнесе — аналог одного подбрасывания монеты.​

Вы можете потратить миллион рублей на открытие новой торговой точки по продаже пирожков и ожидать с вероятностью в 50% возврата в два миллиона рублей в течение следующего года. А может быть, стоит потратить 5 миллионов, открыть пять точек и получить по два миллиона в каждой из них?

Или вы нанимаете менеджеров-продажников для отработки клиентской базы. С вероятностью 50% нанятый специалист впустую отсидит свою зарплату или же утроит вложенные в него и рабочее место деньги. Сколько вы можете потратить на одного такого специалиста?

Я надеюсь, теперь вы уже понимаете, что решение о подобных инвестициях нужно принимать на основании того, каким капиталом вы располагаете. Если весь ваш бизнес стоит 5 миллионов, риск ещё на 5 миллионов по аналогии со 100% ставкой при подбрасывании монеты будет чрезмерным.

Так какое количество точек стоит открывать, чтобы максимизировать прибыль? Существует два подхода для решения задач такого типа:

  • Чисто теоретический. Попросив помощи у знакомого математика, вы можете рассчитать размер оптимальной ставки в таких процессах на листе бумаги с помощью карандаша и нескольких формул. Способ удобный, но, к сожалению, не всем доступный.
  • Экспериментальный. Я по образованию программист, а потому задачи такого типа решаю обычно «в лоб». Проведем эксперимент, с которого я начал эту статью, в компьютерной программе, и на практике увидим лучшее решение. Итак, у нас есть монета. С равной вероятностью в 50% на каждый эксперимент мы либо теряем ставку, либо зарабатываем в два раза больше. Начальный капитал — 1 тысяча рублей. Теперь проведем 100 экспериментов. В первом эксперименте мы в каждой игре будем рисковать 1% от капитала, далее 2%, 3% и так далее. В каждом эксперименте по 100 игр.

Такая вот у нас получится картинка: по горизонтали номер эксперимента, он же размер ставки в процентах, а по вертикали — сумма депозита по итогам серии из 100 игр.

Получившийся график сам по себе контринтуитивен. Уверен, что вы вряд ли предполагали, что результат будет иметь такую форму и столь явно выраженный максимум. Особенно интересно то, насколько сильно правильно подобранный размер ставки влияет на итоговый результат.

Задаете 10%. По результатам в 100 игр получаете на выходе 46 905 рублей.

Задаете 20%. 289 тысяч рублей. Рост в шесть раз просто за счёт правильного соотношения. Все правила игры остаются прежними.

Задаете 25%. 361 135 рублей. Это наш максимум. Оптимальный размер ставки для нашей игры.

Но дальше начинается самое интересное. Ежедневный опыт подсказывает нам: если дело идет в гору — нужно вкладывать ещё больше денег. Однако расчеты показывают обратное. Перевалив 25%, любое дальнейшее увеличение ставки ведет к падению прибыли.

Давайте посмотрим правую часть графика немного крупнее:

Здесь вообще происходит парадоксальная штука: при увеличении размера нашей ставки выше 50% мы начинаем терять деньги. Начинали-то мы с 1 тысячи рублей. Изначально прибыльный бизнес становится убыточным просто из-за слишком большого количества денег.

Скажу больше: для любой системы с положительным матожиданием меньше 100% существует такая переломная точка, начиная с которой система начинает приносить убытки — просто из-за переизбытка денег.

Многочисленные форекс-конторы и бинарные опционы эксплуатируют это знание в обратную сторону, искусственно вынуждая начинающих пользователей торговать с излишне большим «плечом» и практически гарантированно терять на этом депозит.

Как бы хороша ни была ваша торговля, но с плечом 1 к 100 у вас не будет шансов.

Для разных настроек системы график будет несколько отличаться, но будет несколько важных признаков, которые останутся всегда:

  • Начиная свое движение из точки 0, график будет постепенно расти.
  • В какой-то момент рост станет поистине впечатляющим. Изменение размера ставки на 5% будет менять итоговый результат в разы.
  • В какой-то момент будет достигнут максимум, после которого выручка будет только падать.
  • При дальнейшем движении от максимума система перестанет приносить деньги, а в какой-то момент даже начнет терять деньги.

Если вернуться к продаже пирожков, то получится, что, располагая капиталом в 5 млн рублей, мы можем открыть только одну точку стоимостью в 1 миллион. Все остальное будет чрезмерным риском.

Говоря обывательским языком, стратегию управления капиталом можно описать пословицей «Не клади все яйца в одну корзину».

Народная мудрость здесь удивительно точно решает одну интересную психологическую особенность. Мы подсознательно склонны занижать риски мероприятий, в которых принимаем участие, а потому, как правило, рискуем большими средствами, чем стоит.

В опыте с монетой большинство участников предполагает размер оптимальной ставки в районе 40-60%. При этом, как мы видим на графике, это далеко за пределами оптимальности. Также и в жизни.

Открывая бизнес, делегируя полномочия, инвестируя средства, мы склонны недооценивать опасности и рисковать слишком сильно.​

Правильной тактикой в бизнесе будут эксперименты на минимальном объеме. Получив первую положительную обратную связь, наращиваем обороты. При признаках насыщения деньгами необходимо остановить процесс, и, возможно, даже откатить назад.

Надо лишь помнить, что все вышеописанные подходы в реальной жизни верны в случае серийного предпринимательства, когда вы открываете 100 точек с пирожками и пытаетесь выстроить процесс максимально эффективно. Открывая первый в своей жизни киоск с круассанами, стоит руководствоваться совсем другими соображениями.